El espacio-tiempo de Einstein

Que, como en el caso anterior, representa la dilatación del tiempo al cambiar de observador y se debe a que, como el espacio, para Einstein también el tiempo tiene cierta capacidad para acomodarse a los valores precisos para cumplir con las exigencias del espacio-tiempo. Para Lorentz el retardo de los relojes se debía a la necesidad del viajar el tiempo a través del éter, éter que para Einstein ni existe ni tiene ningún sentido.

Volviendo a nuestro empeño por encontrar un desarrollo matemático del espacio-tiempo y partiendo, como antes, de un evento inicial de referencia, al que ambos observadores asignen coordenadas espacio-temporales de valor cero, tendremos la ecuación invariante buscada para los dos observadores del espacio-tiempo. Efectivamente la ecuación que representará cualquier acontecimiento para el observador O tendrá la forma:

S²=c²T²-X²-Y²-Z²   [6]

y, ante otro acontecimiento cualquiera, la ecuación que lo representará en el espacio-tiempo del observador o será:

s²=c²t²-x²-y²-z²  [7]

Las dos ecuaciones anteriores tienen expresiones completamente idénticas y serán iguales entre sí sólo en el caso de que representen el mismo acontecimiento para los dos observadores, como ocurría cuando estudiábamos la propagación de la luz.

En el caso de que se tratara de dos acontecimientos separados por incrementos elementales y referidos a un origen común, la modificación correspondiente del espacio-tiempo para el jefe de estación (observador O) sería:

dS²=c²dT²-dX²-dY²-dZ²  [8]

mientras que, para un viajero del tren (observador o), su espacio-tiempo se modificaría en:

ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz²  [9]

Conclusiones

De las ecuaciones anteriores es muy fácil sacar conclusiones del tipo de las siguientes:

• Un punto en el espacio-tiempo representa un suceso que se dio o que va a producirse en un lugar concreto y, además, en un instante dado.
• Si en el espacio-tiempo las variables espaciales son constantes y la variable temporal puede tomar cualquier valor tendremos una línea temporal, que viene a representar la sucesión de eventos en un punto a lo largo del tiempo.
• Si en la expresión del espacio-tiempo t es constante y no lo son las variables espaciales estamos ante los sucesos simultáneos que pueden darse en los diferentes puntos. Si cortamos el espacio-tiempo del observador móvil por el hiperplano t=constante tendremos el espacio geométrico euclidiano tridimensional para dicho observador, en el que sabemos que la distancia dl entre dos puntos vale;

dl²=dx²+dy²+dz²  [10]